Метод интервалов — Умскул Учебник

• Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
• Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
• Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет.  

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0.  

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

 Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0. 

2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0. 

3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы. 

4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

• Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки. 

• Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками.  

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

• Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

• Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.

• Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 

Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике. 

На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20. 
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x² + 8x — 33 > 0.  

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x² + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x² + 8x — 33. Получаем: 

(-12)² + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

Пример 2. Решить неравенство \(\frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0\). 2 ((-3) + 2)} = \frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = \frac{10}{-9}\)

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х² четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?

Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс. 

Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене.  
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Задание 1.  
Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

Как правильно написать? / Законодательная Дума Томской области

По материалам сайта http://www.gramota.ru

Слова и обороты деловой речи, не требующие выделения знаками препинания

В списке представлены слова и выражения, о пунктуационном оформлении которых часто спрашивают посетители «Справочного бюро» ГРАМОТЫ. РУ 
Следует запомнить, что эти слова обычно не выделяются знаками препинания:
 

Какую дату ставить в документе?

Датой документа считается дата его подписания, для акта — дата события, для протокола — дата заседания, принятия решения.

При написании даты используются арабские цифры (пара цифр для обозначения числа, пара цифр для месяца и четыре цифры для обозначения года), разделительный знак — точка:

• 27.08.2007,
• 01.09.2007.

Возможно также буквенно-цифровое обозначение даты: 5 марта 1999 г., 1 сентября 2007 г.

Как писать, с пробелом или без пробела: 1500г.; 150г. до н.э. / 1500 г., 150 г. до н. э.?

Графически наличие пробела — признак слова. Следует разделять все сокращения и цифры: 2007 г., 2008-2014 гг., с 2001 по 2008 г.

Можно ли так писать дату в документах: 19.04.08?

День месяца и месяц оформляются двумя парами арабских цифр (через точку), год — четырьмя арабскими цифрами: 19.04.2008.

Если дата записывается цифрами (22.08.2007), уместно ли после 2007 писать «года», и если уместно, то как правильно это делать?

Если в состав даты входит день месяца (число), месяц и год, то возможно различное написание:

• цифрами: 22. 08.2007;
• словами и цифрами: 22 августа 2007 года; 22 августа 2007 г.;
• только словами: двадцать второе августа две тысячи седьмого года.

Если дата записывается цифрами, то слово года или сокращение г. после даты не требуется.

Как правильно писать: 2000-2002 г.г. или 2000-2002 гг.?

Следует писать: 2000-2002 гг. Такое сокращение читается как «двухтысячный — две тысячи второй годы».

Обратите внимание: между числами ставится тире, без пробелов с обеих сторон.

«Адресат» при написании заявления центрируется по правому краю или по левому, но в правой части листа?

Реквизит «адресат» обычно выравнивается по левому краю, но всегда находится в правой части листа.

Когда применять наращения?

Наращение (буквенное падежное окончание) используется в записи порядковых числительных: 10-й класс «Б»; ученик 11-го класса; 1-й вагон из центра; 5-й уровень сложности; занять 2-е и 3-е места; в начале 90-х годов, 12-й маршрут.

Наращение не используется:

• В записи количественных числительных: словарь в 4 томах; работа 2 сотрудников; серия из 12 упражнений.
• При записи календарных чисел: 22 марта 2003 года, 1 апреля, 10 января.
• Если число обозначено римской цифрой: II Международная олимпиада школьников по русскому языку; IX конгресс, XXI век, Людовик XIV.
• В номерах томов, глав, страниц, иллюстраций, таблиц, приложений и т. п., если родовое слово (том, глава) предшествует числительному: на с. 196, в т. 5, в табл. 11, в прил. 1 (но: на 196-й странице, в 5-м томе, в 11-й таблице, в 1-м приложении).

Как применять наращения?

Наращение падежного окончания в порядковых числительных, обозначенных арабскими цифрами, может быть однобуквенным или двухбуквенным.

По закрепившейся традиции наращение должно быть однобуквенным, если последней букве числительного предшествует гласный звук: 5-й день (пятый день), 25-я годовщина (двадцать пятая годовщина), в 32-м издании (в тридцать втором издании), в 14-м ряду (в четырнадцатом ряду).

Наращение должно быть двубуквенным, если последней букве предшествует согласный: 5-го дня (пятого дня), к 25-му студенту (к двадцать пятому студенту), из 32-го издания (из тридцать второго издания), из 14-го ряда (из четырнадцатого ряда).

Если подряд следуют два порядковых числительных, разделенных запятой или соединенных союзом, падежное окончание наращивают у каждого из них: 1-й, 2-й вагоны; 80-е и 90-е годы.

Если подряд следуют более двух порядковых числительных, разделенных запятой, точкой с запятой или соединенных союзом, то падежное окончание наращивают только у последнего числительного: 1, 2 и 3-й вагоны, 70, 80, 90-е годы.

Если два порядковых числительных следуют через тире, то падежное окончание наращивают:

а) только у второго числительного, если падежное окончание у обоих числительных одинаковое: 50-60-е годы, в 80-90-х годах;

б) у каждого числительного, если падежные окончания разные: в 11-м — 20-х рядах.

Источник: Справочная книга редактора и корректора: Редакционно-техническое оформление издания / Сост. и общ. ред. А. Э. Мильчина. М., 1985.

Как расставить знаки препинания в первой фразе договора, содержащей обозначения договаривающихся сторон?

Правильным является такой вариант расстановки знаков препинания в этой фразе: Государственное предприятие «Общение», именуемое в дальнейшем «Предприятие», в лице генерального директора Поповича Александра Михайловича, действующего на основании Устава, с одной стороны и гражданин Росийской Федерации Бабкин Иван Васильевич, именуемый в дальнейшем «Работник», с другой стороны заключили настоящий договор о нижеследующем…

Обратите внимание на то, что в этой фразе слова с одной стороны и с другой стороны выступают в функции обстоятельства и не являются вводными, а значит и не требуют выделения знаками препинания.

Нужна ли запятая после слов «С уважением» в конце делового письма?

После слов «С уважением» принято ставить запятую, несмотря на то что правила правописания не регламентируют этот случай.

Например, корректно:
С уважением,
главный бухгалтер ООО «Морской пейзаж»
Д.О. Иванцева

Нужна ли точка после подписи в деловом письме?

Точка после подписи в деловом письме не ставится. В документах, в том числе в деловых письмах, подпись выступает в функции так называемого реквизита (обязательного элемента), не составляющего законченного предложения.

Следует отметить, что в газетных и журнальных сохраняется традиция ставить точку после подписи автора, если подпись располагается после основного текста статьи.

Что ставить после обращения Уважаемый господин Иванов — восклицательный знак или запятую?

Первая фраза делового письма — обращение — может заканчиваться восклицательным знаком или запятой. В случае если стоит запятая, текст письма начинается со строчной буквы. Если стоит восклицательный знак — пишем первое предложение с прописной.

Place Signs — Etsy.de

Etsy больше не поддерживает старые версии вашего веб-браузера, чтобы обеспечить безопасность пользовательских данных. Пожалуйста, обновите до последней версии.

Воспользуйтесь всеми преимуществами нашего сайта, включив JavaScript.

Найдите что-нибудь памятное, присоединяйтесь к сообществу, делающему добро.

( 1000+ релевантных результатов, с рекламой Продавцы, желающие расширить свой бизнес и привлечь больше заинтересованных покупателей, могут использовать рекламную платформу Etsy для продвижения своих товаров. Вы увидите результаты объявлений, основанные на таких факторах, как релевантность и сумма, которую продавцы платят за клик. Узнать больше. )

Знаки нашего места — Etsy.