Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса » ProcMem.Ru Линейная Алгебра

п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть дана система .

1. Выписываем расширенную матрицу системы .

2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.

Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.

3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.

4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .

5. Определяем, какие переменные системы будут независимыми, а какие зависимыми:

а) те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор объявляем независимыми, их оставляем в левых частях уравнений системы;

б) оставшиеся переменные объявляем зависимыми, их переносим в правую часть уравнений. Зависимых переменных должно быть  штук.

6. Обозначаем зависимые переменные буквами греческого алфавита: , если их не очень много; или буквой с индексами, например: .

7. Придавая зависимым переменным какие-нибудь числовые значения, находим частное решение данной системы X*.

8. Обнуляем столбец свободных членов в системе и, двигаясь от последнего уравнения системы к первому (снизу вверх), выражаем независимые переменные системы через зависимые.

9. Записываем общее решение соответствующей однородной системы.

10. Записываем общее решение данной неоднородной системы.

11. Выписываем полученную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.

12. Записываем множество решений данной неоднородной системы в виде суммы линейной оболочки, натянутой на фундаментальную систему решений и частного решения Х*.

13. Записываем ответ (из пункта 10 и 12).

Пример 1. Решить систему: .

Решение.

1) Выписываем расширенную матрицу системы :

.

2) Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:

а) умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй строке, затем  умножаем первую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

;

б) умножаем вторую строку на (–1) и прибавляем к третьей:

.

3) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

 – базисный минор матрицы системы;

 – базисный минор расширенной матрицы системы.

Мы видим, что , . Так как , то данная система является несовместной, т.е. не имеет решений.

Ответ. Система не имеет решений.

Пример 2. Решить систему: .

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

В результате получили квадратную систему

с определителем системы . Следовательно, система имеет единственное решение:

.

Ответ: .

Пример 3. Решить систему: .

1) Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

.

2) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:

 – базисный минор матрицы системы и он же базисный минор расширенной матрицы системы,  . Следовательно, полученная система , которая равносильна данной, имеет решения, т.е. является совместной.

3) Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы: . Следовательно, из трех неизвестных системы, два неизвестных  и  объявляем независимыми, а неизвестное  объявляем зависимым.

4) Обозначаем зависимую неизвестную  и переносим его в правую часть уравнения:

.

5) Полагаем , получаем частное решение системы:

.

6) Обнуляем столбец свободных членов системы и получаем соответствующую однородную систему:

.

7) Выписываем общее решение соответствующей однородной системы:

.

8) Выписываем решение неоднородной системы:

.

9) Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного столбца:

.

10) Множество решений данной системы:

.

Ответ: общее решение системы: , ;

множество решений системы: .

Пример 4. Решить систему: .

Решение. Расширенная матрица системы:

.

Коэффициент при , равный 1, можно принять за базисный минор, так что .

Соответствующая однородная система имеет вид:

,

размерность пространства ее решений:

.

Обозначим – три свободные переменные. Систему можно записать так:

.

Полагая , получаем частное решение данной системы:  или

.

Соответствующая однородная система имеет вид:

.

Тогда ее общее решение имеет вид:

,

где .

Общее решение данной неоднородной системы:

,

где .

Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы:

.

Множество решений данной системы:

или .

Ответ: общее решение системы

,

где ;  множество решений системы:

.

п.11. Формулы Крамера.

Теорема. Пусть  квадратная система линейных уравнений и . Тогда единственное решение системы можно найти по формулам:

, ,

где  – определитель матрицы системы,  – столбцы матрицы системы,

 – определитель системы, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов В. Эти формулы называются формулами Крамера.

Доказательство. Так как , то матрица А – обратимая и из равенства  получаем:

,

откуда и следуют формулы Крамера. Проработка деталей оставляется читателю.

Теорема доказана.

Еще записи по теме

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы $\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-3 x_{4}-x_{5}=0 \\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ 4 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-7 x_{5}=0 \end{array}\right.$

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем $\frac{4}{3}$ третьей и третью строку умножим на $\frac{1}{3}$ :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь $x_{2}, x_{4}$ — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), $x_{1}, x_{3}, x_{5}$ — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных $n$ (в рассматриваемом примере $n=5$ , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы $r$ (в этом случае получили, что $r=3$ — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду): $n-r=5-3=2$

Так как ранг матрицы $r=3$ , а количество неизвестных системы $n=5$ , то тогда количество решений в ФСР $n-r=5-3=2$ (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения $x_{2}=1$ , $x_{4}=0$ получаем, что $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1+6 \cdot 0=-1 \\ x_{3}=1-\frac{5}{2} \cdot 0=1 \\ x_{5}=3 \cdot 0=0 \end{array}\right.$ . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря $x_{2}=0$ , $x_{4}=2$, будем иметь, что {x_{1}=12, x_{3}=-5, x_{5}=6} , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты $C_{1}, C_{2}$ не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-C_{1}+12 C_{2} \\ x_{2}=C_{1} \\ x_{3}=C_{1}-5 C_{2} \\ x_{4}=2 C_{2} \\ x_{5}=6 C_{2} \end{array}\right.$    $C_{1}, C_{2} \neq 0$

Придавая константам $C_{1}, C_{2}$ определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

П.1. Базисные и опорные решения

Рассмотрим линейную систему из m уравнений с n переменными

(2.1)

В дальнейшем будет интересен случай, когда n > m.

Будем полагать, что в системе (2.1) все уравнения являются независимыми, что в свою очередь означает r = m, где r – ранг матрицы системы
A = (a_ij).

Рассмотрим одну из таких систем

Составим расширенную матрицу системы и проведем несложные преобразования

В данном случае r = 2, число переменных n = 3. Очевидно, что такая система имеет бесконечно много решений.

Перейдем от последней матрицы к системе уравнений

Выразим переменные х₁ и х₃ через переменную х₂

Рассмотрим столбцы перед переменными х₁ и х₃, как векторы и . Данные векторы образуют базис в двумерном пространстве. Отсюда название переменных х₁ и х₃ – базисные переменные.

В общем случае базисных переменных в системе из m независимых уравнений с n переменными будет m.

Определение 2.1. Базисными переменными системы m линейных уравнений с n переменными (m < n) называется любой набор из m переменных, если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля.

Оставшиеся n – m переменных называются свободными. В рассматриваемом примере свободной является переменная х₂. Придавая переменной х₂ различные значения можно получить множество частных решений: Х₁ ; Х₂ и т.д.

Решение Х₁ получается, если свободную переменную приравнять к нулю.

Определение 2.2. Если в общем решении системы m линейных уравнений с n переменными (n – m) свободных переменных равны нулю, то такое решение называется базисным.

Число базисных решений равно количеству неупорядоченных подмножеств из n элементов (число неизвестных) по m (число базисных неизвестных), т.е. это число равно

,

где n! = n × (n – 1) ×…× 3 × 2 × 1; m! = m × (m – 1) ×…× 2 × 1.

В данном примере число базисных решений определяется следующим образом

.

Среди базисных решений выделяют вырожденные решения, в которых нулевыми являются не только свободные решения, но и некоторые базисные.

Обратимся к примерам 1.1 и 1.2, рассмотренным в предыдущем параграфе. В системе ограничений одной и другой задачи присутствует требование неотрицательности переменных х₁, …, х_n. Это требование не является случайным, поскольку в экономических моделях, связанных с решением систем линейных уравнений, неизвестные величины соответствуют некоторым конкретным экономическим показателям, которые могут быть только неотрицательными. Неотрицательные базисные решения назовем опорными*.

Рассмотрим отыскание опорных решений на примере.

П р и м е р 2.1. Найти все опорные решения системы линейных уравнений:

Решение. Столбец свободных переменных не содержит отрицательных компонент. Если бы в каком-то уравнении были отрицательные свободные члены, нужно было бы умножением обеих частей уравнения на (– 1) сделать свободный член соответствующего уравнения положительным. Составим расширенную матрицу системы

и определим первый разрешающий элемент так, чтобы в последнем столбце в результате элементарных преобразований не появились отрицательные компоненты. Очевидно, разрешающий элемент должен быть положительным. В первом столбце все компоненты положительные. Какой из них можно взять в качестве разрешающего? Составим отношения (j = 1, 2, 3). Если за разрешающий элемент выбрать тот из элементов первого столбца, которому соответствует минимальное отношение, то в столбце свободных членов после преобразований не будет отрицательных компонент – это элемент а₃₁ = 1. Получим

~ .

Во втором столбце первоначальной матрицы за разрешающий можно взять только элемент а₂₂ = 1 (он единственный положительный элемент этого столбца)

~ .

В третьем столбце за разрешающий можно взять а₃₃ = 11, т. к. :

~ .

В четвертом столбце все элементы отрицательные и разрешающий элемент выбрать нельзя.

Остановимся на первом варианте и продолжим процесс далее

~ ~ ~ .

Очевидно, ранг матрицы равен 2, базисные неизвестные – х₁ и х₄; свободные – х₂ и х₃. Общее решение: (7 – 11х₂ + 34 х₃; х₂; х₃; 1 – 3х₂ + 9х₃).

Базисное решение (7; 0; 0; 1) является опорным.

В данном случае существует базисных решений, соответствующих базисным переменным: х₁х₂; х₁х₃; х₁х₄; х₂х₃; х₂х₄; х₃х₄. Вариант х₁х₄ уже был рассмотрен.

Вернемся к матрице системы, полученной после преобразований:

.

Варианты х₁х₃; х₂х₃; х₃х₄ невозможны, т.к. в столбце, соответствующем х₃, нет положительных компонент, и х₃ не может войти в базис. Введем в базис х₂: , значит разрешающий элемент а₁₂ = 3. Получим

~ .

Базисное решение — опорное.

Проверим последний вариант х₂х₄: в четвертом столбце последней матрицы разрешающим может быть только элемент а₁₂ = 1/3 > 0, но тогда из базиса уйдет неизвестная х₂ и получим базисные переменные х₁х₄, что уже было рассмотрено.

Итак, опорные решения: (7; 0; 0; 1) и .

Сформулируем общее правило выбора разрешающего элемента при отыскании опорного решения для определенного столбца j.

1. Приводим систему уравнений к виду, когда в столбце свободных членов нет отрицательных чисел.

2. В выбранном столбце j в «конкурсе» на звание «разрешающий элемент» участвуют только положительные элементы.

3. Каждый элемент в столбце свободных членов, делим на соответствующий ему элемент столбца j.

4. Выбираем из полученных соотношений наименьшее (Q_j).

5. Элемент, для которого отношение, полученное в пункте 3, наименьшее, является разрешающим элементом.

Рекомендуемые страницы:

Метод Гаусса решения СЛАУ. Базисный минор, базисные и свободные переменные СЛАУ

Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Метод Гаусса — один из основных результатов линейной алгебры и аналитической геометрии, к нему сводятся множество других теорем и методов линейной алгебры (теория и вычисление определителей, решение систем линейных уравнений, вычисление ранга матрицы и обратной матрицы, теория базисов конечномерных векторных пространств и т. д.).

Задача поиска решений системы линейных уравнений имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач. Основные методы решения СЛУ:

— метод Гаусса;

— метод обращения матрицы;

— итерационные методы.

Матрица A с элементами a_ij называется ступенчатой, если она обладает следующими двумя свойствами:

1. если в матрице есть нулевая строка, то все строки ниже нее также нулевые;

2. пусть a_ij не равное 0 — первый ненулевой элемент в строке с индексом i, т.е. элементы a_il = 0 при l < j. Тогда все элементы в j-м столбце ниже элемента a_ij равны нулю, и все элементы левее и ниже a_ij также равны нулю: a_kl = 0 при k > i и l =< j.

Ступенчатая матрица выглядит так:

Здесь тёмными квадратиками отмечены первые ненулевые элементы строк матрицы. Белым цветом изображаются нулевые элементы, серым цветом — произвольные элементы.

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

· Преобразование первого рода:две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

· Преобразование второго рода:к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг — числу ненулевых строк (рангом по определению называется размерность линейной оболочки строк матрицы).

Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент a_k1/a₁₁ .

3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

Программистский вариант метода Гаусса имеет три отличия от математического:

1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;

2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа a_ij следует сравнивать его абсолютную величину _ij с очень маленьким числом е (например, е = 0.00000001). Если _ij =< е, то следует считать элемент a_ijнулевым;

3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент

r = -a_kj/a_ij :

Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -a_kj/a_ij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит е, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.

Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали -нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.

Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1-го уравнения на a₁₁ ? 0, затем: 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д. Получим:

где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij — a_i1d_1j

i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Свободные и базовые переменные матрицы

Свободные и базовые переменные матрицы, представляющей систему уравнений

Согласно приведенному выше определению
\ (\ quad \ quad x_1, x_3 \) и \ (x_4 \) являются основными переменными, а \ (x_2 \) и \ (x_5 \) являются свободными переменными.
Когда мы решаем вышеуказанную систему, мы выражаем основные переменные через свободные переменные
Третье уравнение в системе дает
\ (\ quad \ quad x_4 = x_5 \)
Второе уравнение дает
\ (\ quad \ quad x_3 = 2 x_5 \)
Первое уравнение дает
\ (\ quad \ quad x_1 = — 2 x_2 + x_3 — x_4 + 3 x_5 \)
Подставьте основные переменные справа
\ (\ quad \ quad x_1 = — 2 x_2 + 2 x_5 — x_5 + 3 x_5 \)
Упростить
\ (\ quad \ quad x_1 = — 2 x_2 + 4 x_5 \)
Решение записывается как
\ (\ quad \ quad x_1 = — 2 x_2 + 4 x_5 \)
\ (\ quad \ quad x_3 = 2 x_5 \)
\ (\ quad \ quad x_4 = x_5 \)
где \ (x_2 \) и \ (x_5 \) могут быть любыми действительными числами, следовательно, их имена как «свободные переменные».

Вопросы с решением

1. \ (\ begin {bmatrix} 1 и 4 и 3 и 0 и 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} \)
   
2. \ (\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} \)
   
3. \ (\ begin {bmatrix} 1 и 2 и 0 и -1 и -2 и 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} \)
   
4. \ (\ begin {bmatrix} 1 и 2 и 0 и 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \ end {bmatrix} \)

Решения вышеперечисленных вопросов
Будучи расширенными матрицами, количество переменных равно количеству столбцов данной матрицы -1.
Например, для матрицы из 5 столбцов количество переменных составляет 5-1 = 4, с именами \ (x_1 \), \ (x_2 \), \ (x_3 \) и \ (x_4 \).

1. Матрица 1 имеет две точки поворота и 4 переменные.
   Первая опорная точка в строке 1, столбце 1; следовательно, \ (x_1 \) — основная переменная.
   Вторая опорная точка находится в строке 2 столбца 3; следовательно, \ (x_3 \) также является базовой переменной.
   Остальные переменные: \ (x_2 \) и \ (x_4 \) — свободные переменные.
2. Матрица 2 имеет две точки поворота и две переменные.
   Первая опорная точка находится в строке 1 столбца 1; следовательно, \ (x_1 \) — основная переменная.
   Вторая опорная точка находится в строке 2 столбца 2; следовательно, \ (x_2 \) — основная переменная.
   Нет свободных переменных.
3. Матрица 3 имеет 3 точки поворота и 5 переменных.
   Первая опорная точка в строке 1, столбце 1; следовательно, \ (x_1 \) — основная переменная.
   Вторая опорная точка находится в строке 2 столбца 2; следовательно, \ (x_2 \) — основная переменная.
   Третья опорная точка находится в строке 3 столбца 4; следовательно, \ (x_4 \) — основная переменная.
   Остальные переменные: \ (x_3 \) и \ (x_5 \) — свободные переменные.
4. Матрица 4 имеет две точки поворота и 3 переменные.
   Первая опорная точка находится в строке 1 столбца 1; следовательно, \ (x_1 \) — основная переменная.
   Вторая опорная точка находится в строке 2 столбца 3; следовательно, \ (x_3 \) — основная переменная.
   Остальные переменные: \ (x_2 \) — свободные переменные.
   

Дополнительные ссылки и ссылки

1. Повороты матрицы в форме эшелона строк
2. линейная алгебра
3. Решите систему линейных уравнений путем исключения
4. элементарных матриц

Параметрическая форма

Есть одна возможность строковой приведенной формы матрицы, которую мы не видели в разделе 1.2.

Пример (система со свободной переменной)

Рассмотрим линейную систему

E2x + y + 12z = 1x + 2y + 9z = −1.

Решаем с помощью сокращения строки:

Эта сокращенная по строкам матрица соответствует линейной системе

Ex + 5z = 1y + 2z = −1.

В каком смысле решена система? Перепишем как

Ex = 1−5zy = −1−2z.

Для любого значения z существует ровно одно значение x и y, при котором уравнения верны. Но мы можем выбрать любое значение z из .

Мы нашли все решения: это набор всех значений x, y, z, где

Fx = 1−5zy = −1−2zz = zzanyrealnumber.

Это называется параметрической формой для решения линейной системы. Переменная z называется свободной переменной .

Учитывая параметрическую форму решения линейной системы, мы можем получить конкретные решения, заменив свободные переменные любыми конкретными действительными числами. Например, установка z = 0 в последнем примере дает решение (x, y, z) = (1, −1,0), а установка z = 1 дает решение (x, y, z) = (- 4 , −3,1).

Определение

Рассмотрим непротиворечивую систему уравнений относительно переменных x1, x2 ,…, хн. Пусть A — строчная форма расширенной матрицы для этой системы.

Мы говорим, что xi — это свободная переменная , если ее соответствующий столбец в A является , а не сводным столбцом.

В приведенном выше примере переменная z была свободной, потому что матрица сокращенной формы эшелона строк была

В матрице

свободными переменными являются x2 и x4. (Расширенный столбец не является бесплатным, потому что он не соответствует переменной.)

Рецепт: Параметрическая форма

Параметрическая форма множества решений согласованной системы линейных уравнений получается следующим образом.

1. Запишите систему как расширенную матрицу.
2. Ряд сокращается до формы эшелона пониженного ряда.
3. Напишите соответствующую (решенную) систему линейных уравнений.
4. Переместите все свободные переменные в правую часть уравнений.

Перемещение свободных переменных в правую часть уравнений сводится к решению для несвободных переменных (тех, которые идут в сводные столбцы) в терминах свободных переменных. Можно думать о свободных переменных как о независимых переменных, а о несвободных переменных как о зависимых .

Вы можете выбрать любое значение для свободных переменных в (согласованной) линейной системе.

Свободные переменные берутся из столбцов без точек поворота в матрице в виде эшелона строк.

Есть три возможности для сокращенной формы эшелона строк расширенной матрицы линейной системы.

1. Последний столбец — это сводный столбец. В данном случае система противоречива . Есть нулевые решения, т.е.е., набор решений пуст. Например, матрица исходит из линейной системы без решений.
2. Каждый столбец, кроме последнего, является сводным столбцом. В данном случае в системе есть уникальное решение . Например, матрица говорит нам, что единственное решение (x, y, z) = (a, b, c).
3. Последний столбец не является сводным столбцом, и какой-либо другой столбец также не является сводным столбцом. В этом случае система имеет бесконечно много решений, соответствующих бесконечному количеству возможных значений свободной переменной (переменных).Например, в системе, соответствующей матрице любые значения x2 и x4 дают решение системы уравнений.

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a _ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет форму эшелона .Решения системы, представленные более простой расширенной матрицей, [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не изменяют решения системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A ′ x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель — получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) —

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение Гаусса осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a _ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a _ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , а первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижних строк и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную эшелонированную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью. Грубо говоря, исключение Гаусса работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Исключение Гаусса-Жордана продолжается с того места, где остановилось Гаусса, а затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , подброшенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at ² + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1, и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращена следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z . Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как метод исключения по Гауссу обнаруживает противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y — 3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение t дает различное частное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет три плоскости в R ³ , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найти все решения системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется по крайней мере одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остаются только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t ₁ и z = t ₂ . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

и первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где t ₁ t ₂ могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T и пусть A будет матрицей

При каких значениях b ₁ , b ₂ и b ₃ будет согласована система A x = b ?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин сокращает следующим образом:

Нижняя строка теперь означает, что b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ должен быть равен нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) ^T , для которых b ₁ + 3 b ₂ + b ₃ = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читается как A x = 0 . Поскольку каждая однородная система является непротиворечивой — поскольку x = 0 всегда является решением, — однородная система имеет либо ровно одно решение (простое решение , x = 0 ) или бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули. То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Существует бесконечно много растворяющих веществ, поскольку каждое действительное значение t дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обоих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в Примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b ≠ 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x _h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x _h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения L (y) = d (где d ≢ 0) равно общему решению соответствующего однородного уравнения L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y _h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y _h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Так как в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения, и, следовательно, 4-2 = 2 из неизвестных (скажем, y и z ) являются свободными переменными. Пусть y = t ₁ и z = t ₂ .Обратная подстановка y = t ₁ и z = t ₂ во вторую строку ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t ₁ — 4 ₂ , y = t ₁ и z = t ₂ в первый строка (2 w — 2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t ₁ и t ₂ — любые действительные числа.Другой способ написать решение:

, где t ₁ , t ₂ ∈ R .

Пример 12 : Определите общее решение

, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Так как решение неоднородной системы в примере 11 —

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы (где t ₁ , t ₂ ∈ R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система не будет иметь решений, ровно одно решение или бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема на самом деле сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x ₁ и x ₂ будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого действительного значения t вектор x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) также является решением A x = b ; поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Поскольку A x ₁ = b и A x ₂ ,

Следовательно, x ₁ + t ( x ₁ — x ₂ ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Система линейных уравнений — линейная алгебра с приложениями

Практические задачи во многих областях науки, таких как биология, бизнес, химия, информатика, экономика, электроника, инженерия, физика и социальные науки, часто можно свести к решению системы линейных уравнений.Линейная алгебра возникла в результате попыток найти систематические методы решения этих систем, поэтому естественно начать эту книгу с изучения линейных уравнений.

Если, и — действительные числа, график уравнения вида

— прямая линия (если и не равны нулю), поэтому такое уравнение называется линейным уравнением в переменных и. Однако часто удобно записывать переменные как, особенно когда задействовано более двух переменных.Уравнение вида

называется линейным уравнением в переменных. Здесь обозначают действительные числа (называемые коэффициентами соответственно), а также число (называемое постоянным членом уравнения ). Конечный набор линейных уравнений с переменными называется системой линейных уравнений с этими переменными. Следовательно,

— линейное уравнение; коэффициенты при, и равны, и, а постоянный член равен.Обратите внимание, что каждая переменная в линейном уравнении встречается только в первой степени.

Для линейного уравнения последовательность чисел называется решением уравнения, если

, то есть, если уравнение удовлетворяется при выполнении замен. Последовательность чисел называется решением системы уравнений, если она является решением каждого уравнения в системе.

У системы может не быть решения вообще, или у нее может быть уникальное решение, или у нее может быть бесконечное семейство решений.Например, система не имеет решения, потому что сумма двух чисел не может быть одновременно 2 и 3. Система, у которой нет решения, называется несогласованной ; система с хотя бы одним решением называется согласованным .

Покажите, что для произвольных значений и

— это решение системы

Просто подставьте эти значения,, и в каждое уравнение.

Поскольку оба уравнения удовлетворяются, это решение для всех вариантов и.

Величины и в этом примере называются параметрами , а набор решений, описанный таким образом, считается заданным в параметрической форме и называется общим решением системы . Оказывается, что решения каждой системы уравнений (если — это решений) могут быть даны в параметрической форме (то есть, переменные, задаются в терминах новых независимых переменных и т. Д. .).

Когда задействованы только две переменные, решения систем линейных уравнений могут быть описаны геометрически, потому что график линейного уравнения представляет собой прямую линию, если оба они не равны нулю. Более того, точка с координатами и лежит на прямой тогда и только тогда, когда — то есть когда, является решением уравнения. Следовательно, решения системы линейных уравнений соответствуют точкам, которые лежат на всех рассматриваемых линиях.

В частности, если система состоит только из одного уравнения, должно быть бесконечно много решений, потому что на прямой бесконечно много точек. Если система имеет два уравнения, есть три возможности для соответствующих прямых:

• Линии пересекаются в одной точке. Тогда система имеет уникальное решение , соответствующее этой точке.
• Линии параллельны (и различны) и не пересекаются. Тогда в системе нет решения .
• Строки идентичны. Тогда в системе будет бесконечного числа решений — по одному для каждой точки на (общей) прямой.

С тремя переменными график уравнения может быть показан как плоскость и, таким образом, снова дает «картину» множества решений. Однако у этого графического метода есть свои ограничения: когда задействовано более трех переменных, физическое изображение графов (называемых гиперплоскостями) невозможно. Необходимо обратиться к более «алгебраическому» методу решения.

Перед описанием метода мы вводим понятие, упрощающее вычисления. Рассмотрим следующую систему

трех уравнений с четырьмя переменными. Массив чисел

, встречающееся в системе, называется расширенной матрицей системы. Каждая строка матрицы состоит из коэффициентов переменных (по порядку) из соответствующего уравнения вместе с постоянным членом. Для наглядности константы разделены вертикальной линией.Расширенная матрица — это просто другой способ описания системы уравнений. Массив коэффициентов при переменных

называется матрицей коэффициентов системы, а
называется постоянной матрицей системы.

Элементарные операции

Алгебраический метод решения систем линейных уравнений описывается следующим образом. Две такие системы называются эквивалентами , если они имеют одинаковый набор решений.Система решается путем написания серии систем, одна за другой, каждая из которых эквивалентна предыдущей системе. Каждая из этих систем имеет тот же набор решений, что и исходная; цель состоит в том, чтобы получить систему, которую легко решить. Каждая система в серии получается из предыдущей системы простой манипуляцией, выбранной так, чтобы она не меняла набор решений.

В качестве иллюстрации мы решаем систему таким образом. На каждом этапе отображается соответствующая расширенная матрица.Исходная система —

Сначала вычтите дважды первое уравнение из второго. В результате получается система

, что эквивалентно оригиналу. На этом этапе мы получаем, умножив второе уравнение на. В результате получается эквивалентная система

Наконец, мы дважды вычитаем второе уравнение из первого, чтобы получить другую эквивалентную систему.

Теперь эту систему легко решить! И поскольку он эквивалентен исходной системе, он обеспечивает решение этой системы.

Обратите внимание, что на каждом этапе в системе (и, следовательно, в расширенной матрице) выполняется определенная операция для создания эквивалентной системы.

Следующие операции, называемые элементарными операциями , могут в обычном порядке выполняться над системами линейных уравнений для получения эквивалентных систем.

1. Поменяйте местами два уравнения.
2. Умножьте одно уравнение на ненулевое число.
3. Добавьте одно уравнение, кратное одному, к другому уравнению.

Предположим, что последовательность элементарных операций выполняется над системой линейных уравнений. Тогда полученная система имеет тот же набор решений, что и исходная, поэтому две системы эквивалентны.

Элементарные операции, выполняемые над системой уравнений, производят соответствующие манипуляции со строками , , , расширенной матрицы. Таким образом, умножение строки матрицы на число означает умножение каждой записи строки на.Добавление одной строки к другой означает добавление каждой записи этой строки к соответствующей записи другой строки. Аналогично производится вычитание двух строк. Обратите внимание, что мы считаем две строки равными, если соответствующие записи совпадают.

В ручных вычислениях (и в компьютерных программах) мы манипулируем строками расширенной матрицы, а не уравнениями. По этой причине мы переформулируем эти элементарные операции для матриц.

Следующие операции называются операциями с элементарной строкой матрицы.

1. Поменять местами два ряда.
2. Умножить одну строку на ненулевое число.
3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую строку.

На иллюстрации выше серия таких операций привела к матрице вида

, где звездочки обозначают произвольные числа. В случае трех уравнений с тремя переменными цель состоит в том, чтобы получить матрицу вида

Это не всегда происходит, как мы увидим в следующем разделе.Вот пример, в котором это действительно происходит.

Решение:
Расширенная матрица исходной системы —

Чтобы создать в верхнем левом углу, мы можем умножить строку с 1 на. Однако можно получить без введения дробей, вычтя строку 2 из строки 1. Результат:

Верхний левый угол теперь используется для «очистки» первого столбца, то есть для создания нулей в других позициях в этом столбце.Сначала отнимите строку 1 от строки 2, чтобы получить

Следующее умножение на строку 1 из строки 3. Результат:

Это завершает работу над столбцом 1. Теперь мы используем во второй позиции второй строки, чтобы очистить второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и затем добавляя строку 2 к строке 3. Для удобства обе операции со строками сделано за один шаг. Результат

Обратите внимание, что две последние манипуляции не повлияли на первый столбец (во второй строке там стоит ноль), поэтому наши предыдущие усилия там не были подорваны.Наконец, мы очищаем третий столбец. Начните с умножения строки 3 на, чтобы получить

Теперь вычтите временную строку 3 из строки 1 и затем прибавьте умноженную строку 3 к строке 2, чтобы получить

Соответствующие уравнения:, и, которые дают (единственное) решение.

Алгебраический метод, представленный в предыдущем разделе, можно резюмировать следующим образом: Для данной системы линейных уравнений используйте последовательность элементарных операций со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в «красивую» матрицу (что означает, что соответствующие уравнения легко решить. ).В примере 1.1.3 эта красивая матрица приняла вид

Следующие определения идентифицируют хорошие матрицы, возникающие в этом процессе.

Считается, что матрица находится в форме рядов (и будет называться матрицей строковых звеньев , если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Все нулевые строки (полностью состоящие из нулей) находятся внизу.
2. Первая ненулевая запись слева в каждой ненулевой строке — это a, называемая ведущей для этой строки.
3. Каждый ведущий элемент находится справа от всех ведущих s в строках над ним.

Матрица-эшелон называется сокращенной строкой-эшелонной формой (и будет называться сокращенной матрицей-эшелон , если, кроме того, она удовлетворяет следующему условию:

4. Каждый ведущий элемент является единственным ненулевым элементом в своем столбце.

Матрицы «строка-эшелон» имеют форму «ступеньки», как показано в следующем примере (звездочки указывают произвольные числа).

Ведущие идут «вниз и вправо» через матрицу. Записи выше и справа от ведущих s произвольны, но все записи ниже и слева от них равны нулю. Следовательно, матрица в виде эшелона строк находится в сокращенной форме, если, кроме того, все элементы непосредственно над каждым ведущим равны нулю. Обратите внимание, что матрица в форме эшелона строк может с помощью нескольких дополнительных операций со строками быть приведена к сокращенной форме (используйте операции со строками, чтобы последовательно создавать нули над каждой ведущей единицей, начиная справа).

Важность матриц строка-эшелон вытекает из следующей теоремы.

Каждая матрица может быть приведена к (сокращенной) форме строки-эшелона последовательностью элементарных операций со строками.

Фактически, мы можем дать пошаговую процедуру для фактического нахождения матрицы ряда строк. Обратите внимание: несмотря на то, что существует множество последовательностей операций со строками, которые приведут матрицу к форме ряда строк, та, которую мы используем, является систематической и ее легко программировать на компьютере. Обратите внимание, что алгоритм имеет дело с матрицами в целом, возможно, со столбцами нулей.

Шаг 1. Если матрица полностью состоит из нулей, остановитесь — она ​​уже находится в виде эшелона строк.

Шаг 2. В противном случае найдите первый столбец слева, содержащий ненулевую запись (назовите его), и переместите строку, содержащую эту запись, в верхнюю позицию.

Шаг 3. Теперь умножьте новую верхнюю строку на, чтобы создать интерлиньяж.

Шаг 4. Вычитая числа, кратные этой строке, из строк под ней, сделайте каждую запись ниже начального нуля. Это завершает первую строку, и все дальнейшие операции со строками выполняются с оставшимися строками.

Шаг 5. Повторите шаги 1–4 для матрицы, состоящей из оставшихся строк.

Процесс останавливается, когда либо на шаге 5 не остается строк, либо оставшиеся строки состоят полностью из нулей.

Обратите внимание на то, что гауссовский алгоритм является рекурсивным: когда получен первый ведущий, процедура повторяется для оставшихся строк матрицы. Это упрощает использование алгоритма на компьютере. Обратите внимание, что в решении примера 1.1.3 не использовался гауссовский алгоритм в том виде, в каком он был написан, поскольку первый ведущий не был создан путем деления строки 1 на.Причина этого в том, что он избегает дробей. Однако общий шаблон ясен: создайте ведущие слева направо, используя каждый из них по очереди, чтобы создать нули под ним. Вот один пример.

Решение:

Соответствующая расширенная матрица —

Создайте первый ведущий, поменяв местами строки 1 и 2

Теперь вычтите умноженную строку 1 из строки 2 и вычтите умноженную строку 1 из строки 3.Результат

Теперь вычтите строку 2 из строки 3, чтобы получить

Это означает, что следующая сокращенная система уравнений

эквивалентен исходной системе. Другими словами, у них одинаковые решения. Но эта последняя система явно не имеет решения (последнее уравнение требует этого и удовлетворяет, а таких чисел не существует). Следовательно, исходная система не имеет решения.

Для решения линейной системы расширенная матрица преобразуется в сокращенную форму строки-эшелон, а переменные, соответствующие ведущим, называются ведущими переменными .Поскольку матрица представлена ​​в сокращенной форме, каждая ведущая переменная встречается ровно в одном уравнении, поэтому это уравнение может быть решено для получения формулы для ведущей переменной в терминах не ведущих переменных. Принято называть нелидирующие переменные «свободными» переменными и маркировать их новыми переменными, называемыми параметрами . Каждый выбор этих параметров приводит к решению системы, и каждое решение возникает таким образом. Эта процедура в целом работает и получила название